递推数列存在极限的证明与极限值求解思路与典型题分析(二)——夹逼定理（定义法）
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证明递推数列极限的存在性，在高等数学中，一般首先想到的是基于单调有界原理，或者说单调有界准则，借助递推数列的递推关系式，通过判定数列的单调性和有界性的方法来判断递推数列极限的存在性。
但是，对于有些递推数列，真正要验证它的单调性和有界性并不那么简单，或者有时候数列根本就不具有单调性，因而也就不能直接使用单调有界准则来验证递推数列极限的存在性。对于这样的情况，我们可以考虑借助数列极限存在性的判定和求解方法——夹逼准则或者说数列极限的定义来解决我们的问题。
具体思路：先假设极限存在，根据递推关系式计算出极限值；然后借助夹逼准则或者说数列极限的定义法来证明极限值就为通过假设计算得到的数值。
证明过程基于以下结论：
夹逼定理：设在某一项之后满足
且数列收敛到相同的极限值，则数列也收敛，并且收敛到相同的极限值。
具体过程通过一个具体例子进行说明：
例：验证数列：
逼近方程在附近的根.
【分析】 在直接使用单调有界原理证明递推数列的过程中，要验证它的有界性和单调性，一般需要先计算几项来观察可能的变化规律，然后再进行验证，所以这里先计算数列前几项，可以得到
发现数列的前5项的大小关系为
因此，无法判定它们的单调性.
但有界性容易得到：由于，从而由递推关系式，可得到，进一步可以推出
由于不好判定数列的单调性。因此采用先求极限值，再证明数列极限即为所求数值的方法来验证该问题。
第一步：设数列的极限存在且等于，则由极限的性质与运算法则，并且得到的极限范围，可知，于是有
第二步：证明
要证明上式成立，只要证明
如果能够证明
则由夹逼定理也就证明了上面的结论。
于是由递推关系式及上面计算的等式(1)，可得
所以有
于是由夹逼定理，得
从而也就验证了习题的结论。
【思考】：对于这个方法为什么我们也认为是利用数列极限的定义来进行的验证？能否写出定义验证的过程？
【注】：这样的方法也适用于可以使用单调有界原理证明的递推数列极限的存在性问题。
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